实分析|笔记整理(4)——勒贝格积分(1)

02-10 07:15

大家好!

近两天去了合肥走亲戚,所以进度有所耽搁,希望大家见谅哈。

“实变函数学十遍”这句话,在我写完上一节笔记之后,就已经深刻的感受到了……实分析的难度随着我们笔记内容的推进也会不可避免的加深。但是这门课的重要性同样是不言而喻的(至少我所有感兴趣的方向(经济,金融,统计,数据科学,数学)都要求我好好学实分析……)。所以,这也是一个无法避开的坎,只能硬着头皮继续走下去……

关于实分析和拓扑学 两个系列的习题 ,因为自学的概念相关什么的都肯定不如老师说的要严谨认真,习题自然也肯定不如老师说的有针对性,所以初步计划是开学再统一更新这两个系列笔记的相关习题,希望大家能够耐心等待~

这一节我们进入积分理论,从这一节开始探讨勒贝格积分的由来,性质和应用。

提供之前的笔记:

我们开始今天的内容。

目录

  • 勒贝格积分(1)
    • 简单函数
    • 在测度有限集合上支持的有界函数
    • 一般非负函数(上)

勒贝格积分(上)

我们之前在数分中学过的积分都是黎曼积分,它考虑的分割对象,放到实分析中去考虑其实就是闭正方体。上一节中我们已经提过了,在勒贝格积分中,考虑的对象就是可测集和可测函数。所以下面所有的函数,都假定是可测函数。

那么如何引入勒贝格积分的呢?书上分了四步去讨论。

简单函数

首先:考虑 简单函数

上一节中我们定义了简单函数 ,其中 是测度有限的集合, 是常数。和定积分的定义不同,这个函数在集合的取法上抽象度高了很多。而且有个麻烦的地方在于:这个简单函数的表示方法并不唯一。

这句话是什么意思?就是说,每一个简单函数,如果用特征函数的线性组合去表示,这个线性组合并不是唯一的。常见的例子就是 。你当然可以找到更多的关于 用特征函数的表示。所以为了防止产生歧义,导致之后的勒贝格积分无法定义,数学家们人为规定了一种类型,作为以后我们主要的讨论对象。它被称为 范式 (canonical form)。

我们要求,范式如果规则给定了,那么对于每一个简单函数 ,它用特征函数去分解得到的式子一定要求是唯一的。其实就是要求每一个数字 都是不同且非零的,并且集合 要不交。这个时候,就不可能再存在那种常数不同,最后得到的函数相同的情况了。

我们一般是这么去找一个范式的:因为 只会取到有限个数 (这是因为它是特征函数的有限线性组合的形式),所以我可以设 。这样的话,每一个集合肯定是不交的(不然,一个函数的一个原像就对应多个像了)。所以 就是我们要的范式。

所以有了范式,就好定义勒贝格积分了。

Definition:Lebesgue integral

,定义它的勒贝格积分为 如果一个集合 可测,那么定义它的勒贝格积分为

第二条定义成立的原因是, 依然是一个简单函数。它的几何意义也好理解。

为了表示方便,通常定义 上的积分为

幸运的是这样定义好的积分,它满足了一些积分应有的性质

Proposition:

上述定义的勒贝格积分满足如下性质

(1)(Independence of the representation)若 的一种表示,则 (2)(Linearity)若 均为简单函数, ,则 (3)(Additivity)若 为两个不交的 的子集,那么

(4)(Monotonicity)如果 都是简单函数且 ,那么 (5)(Triangle inequality)如果 是一个简单函数,那么 也是一个简单函数,并且有

(6)如果 为两个几乎处处相同的简单函数,那么

我相信你们能看懂上面那些关于积分的标记,我就不写它们具体是什么了,偷个懒哈。

我们需要说明的是,第一个性质的意思是,只要这样的一种表示确实表示出 ,那么它的积分值就一定是对应的那个表示形式。换句话说,一个简单函数,可以用它的任意线性组合的表示形式来写出。

我们证明一下它们。对于第一个性质,如何证明“任意的表示都可以”?

要注意到的是,我们定义勒贝格积分的时候使用的简单函数其实是它的范式,范式要求的是:每一个常数都不相同,非零,且每一个可测集合都不交。我们考虑的证明方法是:每一次去掉一个限制条件,如果都能够得到相同的表示,就可以得出命题成立。

首先我们去掉“常数不相同且非零”的条件。这个时候,可能会有几个常数是相同的。单独考虑一下,假设有一个数 对应一系列的数 (也就是说所有的在这个集合中的数 )。那么令 ,其中 下标取遍所有的这个集合中的元素下标。这样的话, 是很显然的(这个时候已经修改到了范式了),而且 (我相信你还没有忘记测度的可加性)。那么这个时候,化简一下,就容易得到结论了。

再去掉一个“集合不交”的条件。这个时候,就需要考虑对集合进行重新的规划了。

我们考虑设置一些新的集合 ,并且 。其中

如果三个圆表示E_k,那么涂不同颜色的区域就是对应的E_j^\star

这个时候,我们令 。这个时候, ,但这已经是我们之前处理的情况了。所以直接对应一下,有 ,就证明了结论。

关于第二个结论,其实非常容易,只需要考虑到简单函数的可加性(就是函数的可加性 )即可。

关于第三个结论注意到结论 即可。

关于第四个结论,只需要注意到, ,而对于任意一个非负的元素 ,根据积分定义有 即可。

关于第五个结论,根据勒贝格积分的定义和绝对值不等式,有 ,即可得结论成立。

关于第六个结论,根据定义和测度的可加性即可得到这个结论。

这算是完成了第一步的关于勒贝格积分的定义构造。

在测度有限集合上支持的有界函数

换个思路,再来看看一些其余的更广一点的情况: 在测度有限集合上支持的有界函数

首先什么叫“在测度有限集合上支持”?这是一个新的概念,定义如下。

Definition:support

定义 为函数 的支集。对于一个集合 ,如果在任意 上都有 ,则说 在 上被支持。也即

为支集。

提这个概念的目的是,这一部分的积分在 的补集上,函数值为0。这就意味着不需要考虑它们的积分值,因此即使说是一般的积分(在 上的积分),事实上也已经做了一步积分区域的限定(限定在支集上),方便之后的讨论。

在考虑这种形式下的勒贝格积分之前,我们先考虑一番下面的这个引理。

Lemma:

设 是一个有界函数, ,且在一个测度有限的集合 上被支持,如果 是任意一系列的界为 ,在 上被支持的简单函数,并且对于几乎处处的 都有

,那么

(1)极限

存在

(2)如果 ,那么

这个引理证明是不容易的。需要我们一步步来看。

对于第一个结论,首先要注意到的是,如果 在集合 上是一致收敛的,那么这些结论事实上就已经几乎显然了。我们试着往这个方向考虑证明。

根据上一节说的李特尔伍德三原则中的第三条“一系列收敛的可测函数都几乎一致收敛”,有没有发现已经和题目说的很接近了?(别忘了,从现在开始,已经默认所有的函数都可测了)所以这个结论自然是要用上的。

首先因为 是有限集,所以根据Egorov定理可以得到,对于给定的 ,存在一个可测闭集合 ,使得 ,并且 上一致收敛于 。那么现在要证明极限存在?怎么做?

不知道大家是否还记得数分一的内容,如果要证明一个数列的极限存在,也就是一个数列收敛。有一个定理叫Cauchy收敛准则,大概内容是,对于一个给定的数列 ,对于任意的 ,存在 ,当 时,有 。我们利用这个定理,令 。来考虑放缩。

利用Cauchy收敛定理,我们有

(性质三)

(插一脚,和式中第二个积分先根据简单函数有界往大的方向放缩,然后注意 即可,剩下的我相信你们知道为什么,条件都有)

所以,根据Cauchy收敛准则,因为序列 是一致收敛的,所以根,可以得到,对于足够大的 ,有 ,因此对于足够大的 就有 。因为 是任意小的,所以我们就证明了结论。

对于第二个结论,只需要把不等式中的元素 替换为 ,重复上面的步骤就有 ,这就足够说明了结论的成立。

这个引理证完了,我们就得到了第二种定义勒贝格积分的方式,下面再完整的把它叙述一遍。

Definition:Lebesgue integral

对于在有限测度集合上被支持的有界函数,定义它们的勒贝格积分为 ,其中 在 的支集上被支持,并且对几乎处处的 都有

有必要提到的是,这个积分的值与 序列的选取无关(否则定义本身就不合法了)。这是因为如果存在另外一个收敛于 的序列 ,那么令 ,那么这个时候 序列的界为 ,在一个测度有限的集合上被支持,并且 。所以根据引理第二条就可以知道积分差为0,因此不会影响积分的值。

当然了,如果我们不是针对于整个实数空间 来定义勒贝格积分,限制在一个测度有限的子集 上。那么这个时候很自然的定义是

Definition:

当然了,上面所说的六条性质的前五条,在这个定义下依然是成立的,这不用多说。

下面要说的是有关收敛定理的内容。

Theorem:

是一系列界为 ,且在测度有限的集合 上被支持,且 。那么 有界,可测,并且仍然在 上被支持,且 ,进而得到

这个定理其实非常简单,因为那个引理我们已经证明过了。所以我们采用和引理完全相同的证明思想,有 ,而至于其余的什么可测有界什么的性质,其实都是显然的。因此结论自然证完。而证明出来 ,根据三角不等式(六大性质中第五个),就可以得到结论。

这个性质其实想说的就一点:积分和取极限次序可交换。

说完收敛定理后,下面一个性质是我们之后可能会经常用到的。

Proposition:

,有界,且在测度有限的集合上被支持,并且 ,那么

我们简单证明一下。首先要注意的是,要说明这个结论,只需要说明,不满足 的点的集合的测度为 即可。

设集合 ,那么根据不等式 ,两边取勒贝格积分,就有 ,所以对于任意的 有 ,加上 即可得到我们要的结论。

最后,回到我们最开始学积分的地方,看看黎曼积分的情况。下一个定理,说的就是黎曼积分与勒贝格积分的相关关系。

Theorem:

设 在闭区间 上黎曼可积,那么 是可测的,并且有

(左边表示黎曼积分,右边表示勒贝格积分)

这个定理证明也比较复杂,我们慢慢来看。

不知道大家还记得黎曼积分的定义不,首先如果一个函数是黎曼可积的,那么就要求它有界,也即 。另外根据黎曼积分的定义,可以构造两个阶梯函数序列 (别忘了定积分的定义),可以得到,对于任意的 ,有 ,并且有 ,并且有

现在就是要建立之间联系的时候了。注意到的是,对于阶梯函数,黎曼积分和勒贝格积分的值是相同的(因为如果积分积的是阶梯函数,根据定义,就意味着积分的值取决于这个积分函数的积分区间)。也就是说 对于任意的 成立。

之后,再考虑令 。注意到上面的结论,并且根据收敛定理(积分和取极限次序可交换),可以得到 (这里我跳了一步)。也就是说 ,因为 对于任意的 都是非负的,所以可以得到 ,另外结合我们构造的两个序列的函数,可以得到 ,所以相当于通过夹逼准则,就得到了 。那也就说明了 可测(上一节可测函数部分的性质6)。

最后,根据上面的结论 ,可以得到 。于是有 ,这样再结合上面的已有的等式,就可以推出最终我们想得到的结论。

一般非负函数

这是第三步:讨论 一般的非负函数 ,这里的一般的意思是:我们不会再要求函数有界(在数分中,这句话的意思是函数绝对值的上确界为 ),并且允许它可以取到值

因为篇幅问题,这一节内容我们只会引入,主要的内容会放到下一节来说。

在又一次扩展的情况下,勒贝格积分的定义又要做一次变化。

Definition:Lebesgue integral

定义此情况下的勒贝格积分为 ,其中 取遍所有的满足

有界,在一个测度有限的集合上被支持的可测函数。

当然了,如果 是一个可测的 的子集,那么定义 ,这和上面是一样的。

在这种情况下,就产生了和黎曼积分一样的讨论:是否可积?

Definition:Lebesgue integrable

如果上确界是一个有限数,则称

勒贝格可积,否则称为不可积。

关于可积与不可积的例子,我们在之后概念和定理梳理完之后再展示给大家。

当然了,在这种情况下,因为定义有所变化,所以那六大性质的部分就不一定成立了。因此之后讨论的性质需要重新梳理和证明,就是下面的几个性质。

Proposition:

(1)(Linearity)若 均为非负函数, ,则 (2)(Additivity)若 为两个不交的 的子集,那么

(3)(Monotonicity)如果 ,那么

(4)如果 可积, ,那么

可积。

(5)如果 可积,那么 对于几乎处处

都成立。

(6)如果 ,那么 对于几乎处处

都成立。

我们证明一下这些性质。

前四个中间,只有第一个不是很显然,所以我们说一下第一个。

考虑令 ,这虽然是所谓的特殊情况,但是一般情况的说理其实也是同理可得。

要注意到的一点是,如果 ,并且要求 都是有界且在一些测度有限的集合上被支持,那么又有 。因此可以得到的是 (因为 仍然有界,且在一个测度有限的集合上被支持)。

反过来,考虑任意一个有界且在一个测度有限的集合上被支持的函数 ,设 。这样的话就有 。并且可以知道这两个函数它们的支集相同,且有界(这是我个人的理解,不一定是对的……所以如果有错 希望评论区能有正解) 。所以根据定义有 ,剩下的就是对左边取上确界的事情了。

对于第五个性质,需要注意一下,要证明对于几乎处处的 , 。取个反,得到的就是 的集合测度为0。下面只需要证明这个结论即可。

。那么 。那么当 的时候, 不大于一个有限的数,那么 ,而 ,所以根据第二节的推论(那个符号应该能让你定位是第二节的哪里),可以知道 ,即证明了结论。

第六个和上面的我们单独列出来的性质不是一样的吗?不写了,可以不?

小结

这一节主要是介绍了勒贝格积分的引入,性质和相关重要定理的证明。需要注意到的是,实分析学科的关联性很强,尤其体现在证明的关联性上(我自己在复述书上的证明时,也需要经常去翻看我之前写的笔记)。所以多看多做自然是逃不掉的(当然了,多做这件事,肯定是开学再说了,233)

感谢大家一直以来的支持,为点赞收藏感谢赞赏的看客比心~~

——————————————————广告——————————————————

本专栏为我的个人专栏,也是我学习笔记的主要生产地。 任何笔记都具有著作权,不可随意转载和剽窃

专栏目录:笔记专栏|目录

想要更多方面的知识分享吗?欢迎关注专栏:一个大学生的日常笔记。我鼓励和我相似的同志们投稿于此,增加专栏的多元性,让更多相似的求知者受益~

原文链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/33480239?utm_source=tuicool&utm_medium=referral
标签: 软件开发
© 2014 TuiCode, Inc.