自由量子场(一)

02-08 13:15

目录:

量子场论(0)

量子场论(1)

量子场论(2)

量子场论(3)

量子场论(4)

量子场论(5)

本次内容:结合前几次的内容,给出量子场论的两种公理,并在此基础上讨论自由量子场。

(开始之前需要说明的是:这里我打算倒着写。如果有兴趣浏览的话,一定要先熟悉自由场的正则量子化哦。

还有,遗憾的是,这里的内容有些太多了,我不得不把它拆成两部分。很多自由量子场中重要的物理概念,如粒子与反粒子,自旋统计定理,CPT定理之类的问题,就只能留到下次了。

最后,承接我们之前所讨论的内容,这里严格的使用distribution(广义函数)来构造QFT是很方便的,也是很必要的。不过这样一来熟悉物理上不规范的 函数那一套写法的朋友肯定是看不惯的。所以,我们在讨论具体的自由量子场时会说明两种表述的关系,并且指出在使用“物理表述”时需要注意的地方。)

由于这次内容比较多,先写一个小目录吧。

一,Wightman axioms

二,Locality axioms

三,Reconstruction of QFT

四,自由量子场

五,HHW定理

六,场的正则量子化

一,Wightman axioms:

和量子力学一样,量子场论的基本假设也可以归纳为几条公理。好消息是,这些公理对于自由场来说是完全OK了;坏消息是,当面对相互作用场时存还在很多尚未解决的问题。

1,构造的原料:

在讨论自由量子场的构造之前,先回顾一下我们之前讨论的内容是很必要的,它们是构造量子场论的原料。换句话说,我们把这些原料拼凑在一起,就可以构造出量子场论。

(1)单粒子态:对于单粒子态Hilbert space ,为了满足狭义相对性原理, 上必须存在 的不可约酉表示 。这个不可约酉表示 可以通过单粒子自旋空间 上little group的表示 诱导而来。

(2)Fock space:多粒子态的Hilbert space是Fock space ,其上存在 的可约酉表示 。其稠密子空间为 ,即有限粒子数的Fock space。且Fock space上存在唯一vacuum

(3)产生湮灭算符:产生湮灭算符 可以看做是 上的operator-value distribution,它们的集合构成Heisenberg代数 中元素作用在vacuum 上可以“张开成”整个 ,即在Fock space 中稠密。

(4)力学量:通过产生湮灭算符 可以定义粒子数算符 ,进而多粒子系统的力学量 可以间接通过产生湮灭算符 构造,例如:零自旋自由粒子的哈密顿量 (物理上通过产生湮灭算符来构造力学量的一个重要动机是,这样可以使散射算符 可以自动满足集团分解原理)。

下面呢,我们就利用这些原料来构造出量子场论,实际上你会发现,我们只需要把它们拼凑起来再整合一下就OK了。

2,Wightman axioms:

对上述原料进行加工和构造,我们给出Wightman axioms的具体内容:

(1)vacuum:对于Hilbert space ,其中存在唯一的 ,使得 。我们称 为系统的vacuum。

注: 很显然这条公理来源于Fock space中vacuum,与vacuum在洛伦兹变换下的不变性。

(2)场算符a:存在 上的operator-value distribution ),将函数 映射为 中的线性算子,

注: 历史上看,我们通过对“波动方程”做正则量子化来引入场算符,这里场算符可表示为产生湮灭算符的函数,进而系统的力学量也可写为场算符的函数。

(3)场算符b:对于矢量 (其中 ),其在 Hilbert space 中稠密。

注: 场算符 作为产生湮灭算符的函数,其作用在vacuum 上的值域与产生湮灭算符相同,需要“张成”整个 ,即在 中稠密。

(4)洛伦兹不变性:为保证狭义相对性原理成立,场算符 在洛伦兹变换 下需满足:

注: 如果我们把场算符写成算符值函数(使用时要注意它实际上是distribution而不是函数)的样子,上式可写为: ,这就是我们通常所熟悉的满足洛伦兹协变性的量子场。

(5)能谱:时空平移酉算子 的生成元 两两对易,故其存在共同的谱,利用谱定理我们可以将其写为: 。其谱集应落在光锥的未来部分。或者等价的,四维动量算符 及其平方算符正定。

注: 单粒子的能谱为 ,这是光速不变原理的要求。很显然多粒子系统的能谱也应落至光锥的未来部分。

(6)因果性:当 为类空间隔时,场算符需满足:

玻色子:

费米子:

注: 这也是光速不变原理(因果性)的要求。两个类空间隔的时空点之间,不可以产生任何影响,否则将会破坏因果性。

(上面,我们利用distribution给了场算符一个严格的表述,在具体讨论自由场问题时,我们可以给出熟悉的使用 函数的“物理表述”)。

二,Locality axioms:

下面我们给出量子场论的另一种公理化表述,基于相对论因果性(光速不变原理)的Locality axioms。同上,在给出具体内容之前,我们依然需要回顾以前熟悉的东西,作为构造量子场论的原料。

1,原料:

(1)C* 代数:我们在寻找CCR 代数表示时,为了规避无界算子的麻烦定义了Weyl 代数: ,相应的任务变为寻找Weyl 代数的不可约且关于参数强连续的表示。结果是,所有这样的表示和薛定谔表示等价,即不同的表示在物理上给出相同的结果,由此也就证明“波动力学”与“矩阵力学”的等价性。由此,我们可以定义力学量的集合构成一个非对易C* 代数

(2)GNS构造:对于非对易C*代数 ,我们考虑其GNS构造就可以得到:可分Hilbert space;力学量的算符表示,以及力学量的期望值(C*代数上的态)。具体来说:

期望值为: 即为力学量的算符表示。相应的,对于某个量子力学系统,其中的信息可以包含在某个可分非对易的C*代数 中。

(3)Algebra net:在量子场论中,很显然力学量是依赖时空的。此时力学量的集合不再是单一的C*代数 ,我们定义Algebra net: 作为力学量的集合。

2,Locality axioms:

下面我们给出Locality axioms的内容:

(1)子系统: ,则:

(2)因果性:如果 没有类时曲线相连,则:

(3)能谱:对于Algebra net: 上的一族忠实表示

满足: ,其中 。四维动量算符 的谱集 落在光锥的未来部分。

(4)协变性:考虑庞加莱群诱导的微分同胚, ,相应的代数同构为: 。此时,若 ,则有:

如上,不难看出,这里的Algebra net 可以被定义为一个时空范畴 到力学量范畴 的一个functor。

三,Reconstruction of QFT:

1,QM与QFT:

正如上面所说的那样,量子力学可以概括性的表述为 。即态矢空间Hilbert space 上的自伴算子(力学量)。如果我们知道了力学量的期望值 ,我们就可以利用GNS构造来构造出量子力学

对于量子场论而言,可以概括为 。即系统的Hilbert space 与其稠密子空间 ,场算符 ,以及相应的vacuum: 。现在,考虑这样一个问题,和量子力学一样,如果我们知道了场算符的期望值,能不能重新构造出相应的量子场论 来呢?下面,我们以标量场为例来讨论这个问题。

2,Wightman distribution:

量子场论中,我们会重点关注场算符在vacuum 中的期望值,我们称之为 Wightman distribution。具体定义如下:

Distribution: ,满足条件:

(1)洛伦兹协变性:

(2)能谱:假设test function 的傅里叶变换为 ,那么:

,有: ,则:

(3)厄米性:

(4)因果性:若test function 之间存在类空间隔,则:

(5)正定性:对于 ,则:

(6)集团分解原理:对于类空时空点 ,Wightman distribution满足:

,这里集团分解原理的物理意义是:距离很远的两个实验是不可以相互影响的(不然还做个毛啊)。在通常的多粒子散射理论中可以发现,如果我们用产生湮灭算符来构造力学量的话,散射算符 会自动满足这一原理,而 正是联系着实验结果的物理量。

3,Reconstruction theorem:

这里我们直接给出定理的结果:给定一族Wightman distribution ,其满足上述的六个条件。那么存在满足Wightman axioms的标量场 与之对应,且相互等价。

四,自由量子场:

这里我们来讨论具体的自由量子场,它们分别对应 的粒子,在第二节中我们通过 的诱导表示给出了这些单粒子态,以及它们满足的方程。

1,标量场:

(1)单粒子态:标量场对应于little group 在自旋空间 上的平凡表示 的诱导表示给出的单粒子态。相应的单粒子Hilbert space为 上的洛伦兹不变测度为 ,满足Klein-Gordon方程。这里的单粒子Hilbert space可以选取不同的表象,动量和坐标表象之间由傅里叶变换: 相联系。我们将其记为:

(2)场算符:构造玻色子的Fock space (以及其上的产生湮灭算符)作为Wightman axioms中系统的状态空间 ,相应的其稠密子空间即为有限粒子数Fock space 。由此,我们可以定义 上的operator-value distribution为: 。很显然,这就是Klein-Gordon方程的一个distribution solution

(3)物理表述:现在,我们来看看如何从严格的构造中,得出不那么规范的物理语言。具体方法如下:

①首先,我们需要将单粒子态空间从 变为 ,这个很简单,我们只需做一个简单的投影映射: ,就OK了,很显然这是一个酉算子。

②剩下的工作和上面的一样,利用 来构造Fock space。新的Fock space及其上产生湮灭算符和原有Fock space的联系为:

,其中

③我们将上述变换关系带入场算符的表达式,就可以得到新的场算符为:

。此时新的场算符与产生湮灭算符就变成了 上的operator-value distribution。

给定 ,产生湮灭算符的表达式为:

;式中,左边是用distribution严格表示下的产生湮灭算符,而右边积分号内的即为物理上通常所说的产生湮灭算符。其满足对易关系:

④对于场算符,带入场算符和产生湮灭算符的关系,即可得到:

,这就是物理上场算符的表达式。这里需要注意的是,我们虽然把它写成了算符值函数的样子,但实际计算中心里要清楚,它是operator-value distribution,而非function。

2,旋量场:

下面,方便起见,我们采用物理上的记号。

(1)单粒子态:旋量场对应于little group 在自旋空间 上的2维表示 的诱导表示给出的单粒子态,其满足坐标空间的狄拉克方程为:

利用傅里叶变换,我们可以得到其在动量表象下的表示,相应的单粒子Hilbert space为 上的洛伦兹不变测度为 ,其满足动量空间的狄拉克方程为:

(2)场算符:对费米子而言,其产生湮灭算符满足的对易关系为:

,这里 为粒子的自旋。同上,我们也可以利用产生湮灭算符来构造场算符。注意这里单粒子的自旋空间 ,满足坐标空间狄拉克方程的 有四个分量。这里场算符可以写为:

,其中 为不同的产生湮灭算符,而 为四分量函数,两者乘积满足动量空间的Dirac方程。

在场的正则量子化表述下,我们先求得动量空间Dirac方程的解,在做傅里叶变换得到坐标空间狄拉克方程的解。在场算符的正则量子化下,展开系数被解释为产生和湮灭算符。

五,HHW定理:

在讨论了具体的自由场的例子之后,我们来看看HHW定理。对于有限自由度的量子力学,所有的表示都等价于薛定谔表示。不过呢,正如我们上次所看到的,当系统自由度 时,出现了与Fock表示不等价的表示,这些不等价的表示直接导致了自由场和相互作用场的不等价。下面我们给出关于标量场的HHW定理的结果。

1,第一部分:

考虑两个标量场 。其等时对易关系为:

在伽利略变换 下,场算符的变换为:

相应的两个场算符对应的vacuum为:

现在,若两个场算符之间由酉算子群给出的联系为:

;那么结合以上场算符的变换式可得: 。则两个vacuum满足:

2,第二部分:

考虑满足第一部分中假设的两个场 ,那么对于洛伦兹变换 ,则显然有:

。则两个场的如下真空期望值相等:

由此,物理上导致的结果是,若 为自由场,那么 也一定是自由场。即,如果一个标量场与自由标量场酉等价,那么这个标量场也是自由标量场。换句话说,存在相互作用的量子场与自由量子场之间,不能用酉算子联系。关于HHW定理带来的影响,我们在讨论散射问题,QED,以及重整化的时候还会再次讨论它。

六,场的正则量子化:

最后,以标量场为例,我们来简单回顾一下历史的进程上,我们是如何给出场算符和产生湮灭算符的。

同时,这里我们还会给出关于自由量子场的一些物理图像,这些物理图像可能只是一些“启发式”的理解,并没有实际的物理意义。不过这并不代表这些物理图像是不必要的,在入门阶段,这些物理图像还是有一定帮助的。

1,Klein-Gordon方程:

在第二篇文章中,我们用 的诱导表示给出了 时,单粒子态满足的方程。即Klein-Gordon方程。不过,历史上看,这个方程是由薛定谔写出的。方法也很简单,我们考虑相对论性的能量动量关系为:

而正则量子化中力学量的算符表示为: ,将其带入上式关系式就可以得到Klein-Gordon方程:

2,正则量子化:

现在,类似于一般“高等量子力学”教材中电磁场的正则量子化,我们把Klein-Gordon方程当做一个经典场方程,来对其做正则量子化。即将原有经典场方程的解 ,替换为场算符,并附加正则对易关系。

具体来说: ;由此不难看出,这就是量子力学中正则对易关系在无穷自由度时的推广,此时分立有限的角标 ,被换成连续无穷的坐标 (不习惯的话也可以先用分立角标,之后再取极限) 。

这里还有一种动机是这样的,相对论中要求时间和空间平权,但量子力学中时间与空间的位置并不对等,一个是自伴算符,一个只是参数。为此,我们将空间坐标 同时间 一样降级为参数,而这些参数的“主人”即是场算符

3,产生湮灭算符:

我们对Klein-Gordon方程做傅里叶变换,即可得到动量空间中的Klein-Gordon方程: 。而这个方程无非就是频率取值 连续的谐振子而已。而对动量空间Klein-Gordon方程的解做一次傅里叶变换,我们就可以得到坐标空间Klein-Gordon方程的解为:

;相应的正则动量为:

当我们对Klein-Gordon场做正则量子化,赋予场算符等时对易关系时。上式中展开系数也变为算符,且满足对易关系: ,这正是Fock space上产生湮灭算符所满足的对易关系,它们是关于哈密顿量 的一对Ladder operator 。

4,一个启发式的图像:

正如上面所看到的,Klein-Gordon方程量子化之后得到的量子场可以看做是无穷多个用 来标记的:量子谐振子。于是,这里的量子场可以看做是无穷多个谐振子的集合,这些谐振子作用于真空vacuum ,在某个时空点 产生或湮灭一个满足相对论关系 的粒子,而存放这些粒子态的集合就是Fock space。

(所有图,侵删)

正如你所看到的那样,我们只要把之前讨论的内容整理在一起,逻辑上就可以给出量子场论来,当然,历史的进程不大可能按这样的顺序进行(实际上也不是)。

既然我们已经从逻辑上构造出量子场论了,下一步要做的就是看看它在物理上能给出哪些新的结论了。

原文链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/33468770?utm_source=tuicool&utm_medium=referral
标签: 软件开发
© 2014 TuiCode, Inc.